Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).
Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб. в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль - 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.
Задавайте вопросы нашему консультанту, он ждет вас внизу экрана и всегда онлайн специально для Вас. Не стесняемся, мы работаем совершенно бесплатно!!!
Также оказываем консультации по телефону: 8 (800) 600-76-83, звонок по России бесплатный!
Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент.
Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.
Формула сложных процентов
В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.
Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
- проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
- срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:
отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:
FV = PV • (1 + i)n = PV • kн,
где FV – наращенная сумма долга;
PV – первоначальная сумма долга;
i – ставка процентов в периоде начисления;
n – количество периодов начисления;
kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.
Эта формула называется формулой сложных процентов.
Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами.
Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста.
Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
(1 + i)
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:
Любой человек в современном мире рано или поздно сталкивается со сложным процентом. Как правило, знакомство со сложными процентами происходит в банке при расчете доходности по вкладу. Поскольку знание этого понятия является фундаментальным для любого инвестора, поэтому решил посвятить этой теме целую статью, в которой раз и навсегда разобраться в начислении сложных процентов. Для удобства я буду рассматривать явление сложных процентов на примере банковских вкладов. Надеюсь, что эта статья будет полезна не только новичкам в инвестировании, но и опытным инвесторам для правильного планирования доходности портфеля.
Итак, что же такое сложный процент. Говоря простым языком, это постоянное увеличение инвестиционного капитала за счет прибыли, при этом полученный доход участвует в получении новой прибыли за следующий расчетный период. Магия сложных процентов заключается в ускоренном росте капитала и прибыли, за счет постоянного реинвестирования, в банках еще это называют капитализацией.
Прежде чем понять, как рассчитать сложный процент по вкладу, давайте разберемся с простыми процентами. Простые проценты часто используют при подсчете прибыли по банковскому депозиту, со снятием дохода в расчетные периоды. К примеру, если мы инвестируем 100$ на 10 лет под 10% годовых, то через год мы сможем забрать всего 110$.
А после окончания срока депозита, вклад удвоится:
1-й год: 100$ + 100$*0,10 = 110$
10-й год: 100 + 100$*0,10*10 лет = 200$
Ощутимым преимуществом простых процентов (инвестирования без капитализации), является возможность использование текущей прибыли в других целях.
Теперь на этом же простом примере разберем, как просчитать сложный процент при ежегодной капитализации:
1-й год: 100 + 10% = 110$
2-й год: 110 + 10% = 121$
10-й-год: 236 + 10% = 260$
Как видно из примера, сложный банковский процент существенно интереснее, с применением этого метода прибыль вкладчика на 30% больше, чем при простом проценте. Эта сумма может быть еще большей, если применять не ежегодную капитализацию (начисление процентов), а ежеквартальную или ежемесячную.
Суть процесса начисления сложных процентов с капитализацией в том, что доход приносит не только первоначальная сумма вклада, но и каждое начисление прибыли. При этом сумма увеличивается с большой скоростью, и чем чаще будет фиксироваться прибыль, тем больше будет доход.
Посчитать сложный процент на любом калькуляторе можно по следующей формуле:
C=C0 *(1+P*m/100*12)^n
Где:
C — итог,
C0 — сумма первоначального вклада,
P — процент годовых,
m — период капитализации (месяц),
n — периоды инвестирования.
Можно посчитать и сложный процент с пополнением (D), формула для расчета, правда, будет выглядеть немного страшнее :
C=C0 *(1+P*m/100*12)^n + (D *(1+P*m/100*12)^(n+1) — D *(1+P*m/100*12)) / (P*m)/100*12)
Эту же формулу расчета сложных процентов можно использовать и для банковских вкладов.
Функции сложного процента
Расчет исчисления реальной ценности (стоимости) денег основан на временной оценке денежных потоков, которая основана на следующем. Цена приобретения объекта недвижимости определяется, в конечном счете, величиной дохода, который инвестор предполагает получить в будущем. Однако покупка объекта недвижимости и получение доходов происходят в разные отрезки времени. Поэтому простое сопоставление величины затрат и доходов в той сумме, в которой они будут отражены в финансовой отчетности, невозможно (например, 10 млн. рублей готового дохода, полученные через 3 года, будут меньше этой суммы в настоящее время). Однако на стоимость денег оказывают влияние не только информационные процессы, но и основное условие инвестирования — вложенные деньги должны приносить доход.
Приведение денежных сумм, возникающих в разное время, к сопоставимому виду называется временной оценкой денежных потоков. В этих расчетов положен сложный процент, который означает, что вся основная сумма, находящаяся на депозите, должна приносить процент, включая процент, оставшийся на счете с предыдущих периодов.
Теория и практика использования функций сложного процента базируется на ряде допущений:
1. Денежный поток, в котором суммы различаются по величине, называют денежным потоком;
2. Денежный поток, в котором все суммы равновелики, называют аннуитетом;
3. Суммы денежного потока возникают через одинаковые промежутки времени, называемые периодом;
4. Доход, получаемый на инвестированный капитал, из хозяйственного оборота не изымается, а присоединяется к основному капиталу;
5. Суммы денежного потока возникают в конце периода (в иных случаях требуется соответствующая корректировка).
Рассмотрим подробнее шесть функций сложного процента:
1. Накопленная сумма единицы. Данная функция позволяет определить будущую стоимость имеющейся денежной суммы исходя их предполагаемой ставки периодичности дохода, срока накопления и начисления процентов. Накопленная сумма единицы — базовая функция сложного процента, позволяющая определить будущую стоимость при заданном периоде, процентной ставке и известной сумме в будущем:
FV = PV * (1 + i)n
Пример задачи: Получен кредит 150 млн. руб. сроком на 2 года, под 15% годовых; начисление % происходит ежеквартально. Определить наращенную сумму, подлежащую возврату.
2. Текущая стоимость единицы (фактор реверсии). Текущая стоимость единицы (реверсии) дает возможность определить настоящую (текущую, приведенную) стоимость суммы, величина которой известна в будущем при заданном периоде процентной ставки. Это процесс, полностью обратный начислению сложного процента:
PV = FV / (1 + i)n
Показывает текущую стоимость денежной суммы, которая должна быть единовременно получена в будущем.
Пример задачи: Какова текущая стоимость 1 000 долларов, полученных в конце пятого года при 10% годовых при годовом начислении процента?
3. Накопление единицы за период (будущая стоимость аннуитета). Показывает, какой по истечении всего срока будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого из периодических интервалов, т.е. будущая стоимость аннуитета. (Аннуитет — это денежный поток, в котором все суммы равновелики и возникают через одинаковые промежутки времени):
FVA = (1 + i)n – 1 i PMT
Пример задачи: Определить будущую стоимость регулярных ежемесячных платежей величиной по 12000$ в течение 4 лет при ставке 11,5% и ежемесячном накоплении.
4. Текущая стоимость обычного аннуитета. Показывает текущую стоимость равномерного потока доходов, например, доходов, получаемых от сдаваемой в аренду собственности. Первое поступление происходит в конце первого периода; последующие - в конце каждого последующего периода:
PVA = PMT * 1 - (1 + i)-n i
Пример задачи: Определить величину кредита, если известно, что в его погашение ежегодно выплачивается по 30000 $ в течение 8 лет при ставке 15%.
5. Фактор фонда возмещения. Показывает сумму равновеликого периодического взноса, который вместе с процентом необходим для того, чтобы к концу определенного периода накопить сумму, равную:
FVA. SFF = FVA * i (1 + i)n - 1
Пример задачи: Определить сумму, ежемесячно вносимую в банк под 15% годовых для покупки дома стоимостью 65000000$ через 7 лет.
6. Взнос на амортизацию единицы. Показывает равновеликий периодический платеж, необходимый для полной амортизации кредита, т.е. позволяет определить размер платежа, необходимого для возврата кредита, включая процент и выплату основной суммы долга:
PMT = PVA * i 1 - (1 + i)-n
Сложные проценты по кредиту
Особенно важно не попасть в ситуацию, когда процент по кредиту оказывается гораздо выше, чем вы себе представляли.
Это может произойти, если вы не учитываете сложный процент. Рост задолженности становится проблемой, если вы не гасите такой кредит быстро.
Процент, начисленный на увеличенную сумму, растет в соответствии с законами математики. Так же, как и в случае с вкладами, конечная сумма увеличивается с каждым сроком, за который начисляется процент, неравномерно.
Как правило, процент за пользование кредитом берется каждый месяц.
Рассчитать рост задолженности можно по такой же формуле, как и рост вклада при депозите с капитализацией.
Рано или поздно большинство людей обращаются в банк с желанием взять кредит. Их мотивы вполне понятны – намного проще взять деньги в банке под проценты, чем просить в долг необходимую сумму у знакомых и друзей.
В человеческой жизни порой случаются такие моменты, к которым невозможно подготовится заранее, когда отложенных денег просто банально не хватает. После прочтения страшных историй в прессе, когда банк за просрочки и долги по кредитам отнимает у людей жилье или транспорт, практически каждый человек, решивший взять средства в кредит, старается очень основательно подготовиться к походу в банк. Можно попробовать самому рассчитать проценты по выбранному кредиту, а также определить размер переплаты по нему.
Почти все банки, на сегодняшний день, выдают кредиты, по условиям которых регулярные ежемесячные платежи не меняются. Такие платежи называются аннуитетными. Любой кредитный платеж, как правило, состоит из суммы оплаты основного долга и процентов, начисленных на нее. В некоторых случаях сюда входит еще и дополнительная ежемесячная комиссия банка. В сумме первых выплат размер процентов выше, а в течении срока оплаты кредита он постепенно уменьшается. Соответственно, размер выплат основного долга увеличивается.
Как правило, все кредитные договора составляются с учетом простых или сложных процентов. Под понятием простых процентов по кредиту имеется в виду, они будут определяться на основе первоначальной суммы займа, вне зависимости от длительности кредитного договора и количества платежей.
Сложные проценты по кредиту, это способ расчета процентов, при использовании которого они начисляются на первоначальную сумму долга по кредиту, а также на прирост долга по кредиту, который начислен уже после первого начисления процентов. То есть, основа для начисления таких процентов будет постепенно увеличиваться, в зависимости от каждого периода начисления. Если говорить более простым языком, то расчет сложных процентов по кредиту можно описать как начисление процентов на процент.
При использовании такой схемы выплаты кредита, процентный платеж в каждом следующем месяце добавляется к сумме общего займа, а следующий начисляется уже исходя из этой, увеличенной суммы первоначального займа.
Формула сложных процентов по кредиту выглядит примерно так:
Б = С (1+ К)Т
В данной формуле Б – это конечная сумма, которую заемщик обязуется выплатить банку по окончанию срока действия кредитного договора. С – первоначальная сумма займа, которую заемщик берет в кредит у банка. К это ставка процентов по выбранному кредиту, установленная банком, а Т – это общая продолжительность периода, на который был взят кредит, в годах.
Кроме этих двух основных методов расчета, существует также еще один, по которому рассчитываются так называемые смешанные проценты.
Наращение сложных процентов
Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет сложных процентов. Сущность расчета заключается в том, что проценты, начисленные за период, по инвестированным средствам, в следующем периоде присоединятся к основной сумме, в результате чего в следующем периоде проценты будут начислены и на основную сумму, и на добавленные проценты. При этом происходит капитализация процентов по мере их начисления и база, с которой начисляются проценты, постоянно возрастает.
Сложная процентная ставка наращения – это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты.
Для пояснения разницы между простыми и сложными процентами рассмотрим ситуацию: клиент положил в банк на несколько лет сумму, равную P, под простые проценты по ставке i, причем счет можно закрыть в любое время. Если клиент закроет счет через 2 года, то на руки он получит сумму S1 = P(1 + 2i).
Но клиент может поступить таким образом: через год закрыть счет, получить на руки сумму S = P(1 + i), а затем положить эту сумму еще раз на год, осуществив операцию реинвестирования.
Такое действие позволит ему в конце второго года получить:
S2 = P(1 + i) = P(1 + i)(1 +i) = P(1 + i)2.
Величина S2 > S1 ,ясно, что клиенту выгодно каждый раз переоформлять счет, поэтому с целью предотвращения такого рода действий банки в некоторых случаях используют сложные проценты.
В схеме сложных процентов очередной годовой доход исчисляется не с исходной, а с общей суммы, включающей начисленные проценты. Происходит капитализация процентов, т. е. база, с которой они начисляются, все время возрастает.
Размер возвращаемой суммы рассчитывается по формулам:
• через 1 год: S1 = S + Pi = P(1 + i);
• через 2 года: S2 = S1 + S1i = S1 (1 + i) = P(1 + i)2;
. . .
• через n лет:
Sn = P (1 + i)n
- формула наращения сложных процентов
S – наращенная сумма
I - годовая ставка сложных процентов
n- срок ссуды
(1+i) – множитель наращения
Формулу наращения для сложных процентов используют в том случае, когда срок для начисления процентов является дробным числом.
Величина начисленных процентов составит:
I = S - P = P [(1+i)n - (1+ni)].
Пример: Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?
S = P(l + i)n =1000000-(1 + 0,155)5 =2055464,22 руб.
Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения.
Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока.
В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже формулах подписной индекс s проставлен у ставки простых процентов):
- для срока меньше года простые проценты больше сложных:
(1 + nis) > ( 1 + i)n
- для срока больше года сложные проценты больше простых:
(1 + nis) < ( 1 + i)n
- для срока равного году множители наращения равны друг другу.
Сложные проценты капитализация
Для понимания сложных процентов необходимы базовые знания банковской математики. Есть капитал или основная сумма (англ. principal), обозначаемая как буква латинского алфавита P. Есть также такие немаловажные параметры как частота начисления процентов, процентная ставка (англ. interest rate, r), период ставки (по умолчанию имеется ввиду ежегодное начисление) и период вложения t.
При простом начислении процентов, в конце каждого периода начисляется процент, согласно процентной ставке, на ваш капитал, т.е. тело. Независимо от периода вложения, хоть год, хоть 100 лет, в конце каждого периода простые проценты начисляются на тело, т.е. на изначальный вложенный капитал.
При сложном начислении процентов, начисленные проценты, по окончании периода, присоединяются к капиталу. Это присоединение начисленных процентов к капиталу играет важнейшую роль во всем процессе начисления сложных процентов, т.к. в последующем периоде, новые проценты будут начисляться уже на новую, увеличенную сумму. Таким образом, общая сумма вклада растет со скоростью экспоненты (т.е. все быстрее и быстрее), а не по модели скучной арифметической прогрессии.
Сложные проценты (англ. compound interest) именуется по-разному в разных кругах и сферах деятельности.
Мы используем термин «сложные проценты», но можно также встретить следующие названия сложных процентов:
- проценты на проценты
- эффективные проценты
- композиционный процент
- норма доходности с учетом реинвестирования
- норма доходности с учетом капитализации
Становится ясно, что процесс, который происходит для начисления сложных процентов называется реинвестирование или капитализация.
Метод сложных процентов
Метод сложного процента – это метод определения будущей стоимости инвестиций. В отличие от простого процента, который в течение всего периода кредитования применяется к одной и той же (основной) сумме, сложный процент начисляется и на основную сумму, и на сумму процентов за каждый предыдущий год, и так в течение всего периода кредитования.
Пример:
1. Простой процент по ссуде в размере 100,0 тыс. руб. выданной на срок 3 года под 10% годовых:
- 100,0 х 10% х 3 = 30,0 тыс. руб. за три года,
т. е. ежегодно дебитор обязан уплачивать по 10,0 тыс. руб. процентных платежей, а всего платеж по кредиту за три года составит 130,0 тыс. руб.
2. Сложный процент при выдаче такой же ссуды на тех же условиях обязывает дебитора к процентным платежам в таких суммах:
За I год: 100,0 х 0,1 = 10,0 тыс. руб.
За II год: (100,0 + 10,0) х 0,1 = 11,0 тыс. руб.
За III год: (100,0 + 10,0 + 11,0) х 0,1 = 12,1 тыс. руб.
Итого процентных платежей: 33,1 тыс. руб.
Всего платеж по кредиту составит 133,1 тыс. руб.
Кратко данный расчет сложного процента можно записать так:
100,0 х 1,1х3 = 133,1 тыс. руб.
Так, методом сложного процента, рассчитывается будущая стоимость денежных средств, инвестированных сейчас.
Как сдвинуть с места бетонную плиту размером 50 метров в высоту, 100 метров в длину и весом 202 тонны, не применяя никаких механизмов и приспособлений?
Статью подготовила ведущий эксперт-экономист по бюджетированию Ошуркова Тамара Георгиевна. 
